Question

在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A₁B₁C．

（1）如图①，当点B₁在线段BA延长线上时．①求证：BB₁∥CA₁；②求△AB₁C的面积；

（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F₁，求线段EF₁长度的最大值与最小值的差．

Answer

（1）①见试题解析；②（3）．

【解析】

试题分析：（1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；

②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据三角函数和三角形的面积公式解答；

（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，得出最大和最小值解答即可．

试题解析：（1）①证明：∵AB=AC，B1C=BC，∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，

∵∠AB1C=∠ACB（旋转角相等），∴∠B1CA1=∠AB1C，∴BB1∥CA1；

②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图①：

∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵cos∠ABC=，AB=5，∴BF=3，∴BC=6，

∴B1C=BC=6，∵CE⊥AB，∴BE=B1E=×6=，

∴BB1=，CE=×6=，∴AB1=-5=，

∴△AB1C的面积为：；

（2）如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，

此时在Rt△BFC中，CF=，∴CF1=，

∴EF1的最小值为-3=；

如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值；

此时EF1=EC+CF1=3+6=9，

∴线段EF1的最大值与最小值的差为9-=．

【考点】几何变换综合题．