Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx²﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．

（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；

（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．

Answer

（1）该二次函数的图象与轴必有两个交点；（2）y=﹣x﹣1；（3）m的取值范围为：﹣＜m＜0．

【解析】

试题分析：（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；

（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；

（3）根据当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．

试题解析：（1）令mx2﹣（m+n）x+n=0，则△=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2，

∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，∴A（0，n），且n＞0，

又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴△=（m﹣n）2＞0，

∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；

（2）令mx2﹣（m+n）x+n=0，解得：x1=1，x2=，由（1）得＜0，故B的坐标为（1，0），

又因为∠ABO=45°，

所以A（0，1），即n=1，

则可求得直线AB的解析式为：y=﹣x+1．

再向下平移2个单位可得到直线l：y=﹣x﹣1；

（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2﹣（m+1）x+1．

∵M（p，q） 为二次函数图象上的一个动点，

∴q=mp2﹣（m+1）p+1．

∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）．

∴M′点在二次函数y=﹣m2+（m+1）x﹣1上．

∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，

当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；

结合图象可知：﹣（12m+4）＜2，解得：m＞﹣．

∴m的取值范围为：﹣＜m＜0．

【考点】二次函数综合题．