Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是劣弧AC上的一点，连结AD并延长与BC的延长线交于点E，AC、BD相交于点M．

（1）求证：BC•CE=AC•MC；

（2）若点D是劣弧AC的中点，tan∠ACD=，MD•BD=10，求⊙O的半径．

（3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC，交CD的延长线于点F，求﹣的值．

Answer

（1）见试题解析；（2）5；（3）1.

【解析】

试题分析：（1）要证明BC•CE=AC•MC，即证明=，即证明△CBM∽△CAE；

（2）因为点D是劣弧的中点，所以=，所以∠ABD=∠CAE=∠ACD，进而证明△AMD∽△BAD，可得AD2=MD•BD=10，再由tan∠ACD=tan∠ABD=，求出BD的长度，利用勾股定理求出直径AB的长度后，即可求出半径的长度；

（3）因为CD∥AB，AF∥BC，所以△CDE∽△BAE，△ADF∽△DEC，利用对边的比相等可得=，所以﹣=﹣．

试题解析：（1）∵=，∴∠MBC=∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCM=∠ACE=90°，∴△CBM∽△CAE，∴=，∴BC•CE=AC•MC；

（2）∵点D是劣弧的中点，∴=；∴∠ABD=∠MBC，∠ACD=∠CAE，∵∠MBC=∠CAE，

∴∠ABD=∠CAE=∠ACD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴△AMD∽△BAD，

∴=，∴AD2=MD•BD=10，∴AD=，∵tan∠ACD=tan∠ABD=，∴，

∴BD=3，∵AB2=AD2+BD2，∴AB==10，∴⊙O的半径为：AB=5；

（3）∵CD∥AB，∴△CDE∽△BAE，∴=，∵AF∥CE，∴△ADF∽△DEC，

∴=，∴=，∴﹣=﹣=1．

【考点】圆的综合题．