Question

如图1，二次函数y=a（x²﹣x﹣6）（a≠0）的图象过点C（1，﹣），与x轴交于A，B两点（点A在x轴的负半轴上），且A，C两点关于正比例函数y=kx（k≠0）的图象对称．

（1）求二次函数与正比例函数的解析式；

（2）如图2，过点B作BD⊥x轴交正比例函数图象于点D，连接AC，交正比例函数的图象于点E，连接AD，CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连接PQ，QE，PE，设运动时间为t秒，是否存在某一刻，使PE，QE分别平分∠APQ和∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）正比例函数解析式为y=x．（2）见试题解析

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出a的值，求出AC中点E坐标，再证明OA=OC，直线OE就是所求的正比例函数．

（2）如答图1所示，关键是证明△APE∽△CEQ．根据∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，证明△APE∽△CEQ，根据相似线段比例关系列出方程，解方程求出时间t的值．

试题解析：（1）把点C（1，﹣）代入抛物线解析式y=a（x2﹣x﹣6）得a=，

∴抛物线解析式为y=x2﹣﹣，∵OA=2，OC==2，∴OA=OC，

∵A、C中点E的坐标为（﹣，﹣），∴直线OE垂直平分AC，即A、C关于直线OE对称，

∴直线OE解析式为y=x，∴所求是正比例函数解析式为y=x．

（2）假设存在．

如答图1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC===2，∵OB=3，∴BD=3，AB=OA+OB=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD===2，

∵点A、C关于y=x对称，∴CD=AD=2，∠DAC=∠DCA，AE=CE=AC=，

连接PQ、PE，QE，则∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE，在四边形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°（四边形内角和等于360°），即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，

∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°，又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°（三角形内角和定理），

∴∠AEP=∠CQE，在△APE与△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，

∴△APE∽△CEQ，∴=，即：＝ ，

整理得：2t2﹣4t+3=0，

解得：t=或t=（t＜，所以舍去），

∴存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，此时t=．

【考点】二次函数综合题．