Question

已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于O，连结AP、OP、OA．

①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．

Answer

（1）见试题解析；（2）AB的长为10．

【解析】

试题分析：①只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似；

②根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．

试题解析：①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．

由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．

∴∠APO=90°．

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．

∴△OCP∽△PDA．

②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴==．

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．

设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．

在Rt△PCO中，

∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，

∴x2=（8﹣x）2+42．

解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10．

∴边AB的长为10．

【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．