Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．

（1）求证：△ABC≌△EBF；

（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=1，求HG•HB的值．

Answer

（1）见试题解析；（2）BD与⊙O相切，理由见试题解析；（3）HG•HB=2+．

【解析】

试题分析：（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；

（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；

（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=+1，有勾股定理解出EF==，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．

试题解析：（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，

∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，

在△ABC与△EBF中，，∴△ABC≌△EBF；

（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB

证明如下：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，

∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，

∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切；

（3）【解析】
如图2，连接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，

∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，

∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，

∵BH平分∠CBF，∴，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，

∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，

∴，∴HG•HB=HF2=2+．

【考点】圆的综合题．