Question

如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．

（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；

（2）若OB=BG=2，求CD的长．

Answer

（1）直线FC与⊙O相切．理由见试题解析；（2）CD=2CE=2

【解析】

试题分析：（1）相切．连接OC，证OC⊥FG即可．根据题意AF⊥FG，证∠FAC=∠ACO可得OC∥AF，从而OC⊥FG，得证；

（2）根据垂径定理可求CE后求解．在Rt△OCG中，根据三角函数可得∠COG=60°．结合OC=2求CE，从而得解．

试题解析：（1）直线FC与⊙O相切．

理由如下：连接OC．

∵OA=OC，∴∠1=∠2．由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．∴∠2=∠3，∴OC∥AF．

∴∠OCG=∠F=90°．∴直线FC与⊙O相切．

（2）在Rt△OCG中，cos∠COG===，∴∠COG=60°．

在Rt△OCE中，CE=OC60°=2×=．∵直径AB垂直于弦CD，CD=2CE=2．

【考点】切线的判定；解直角三角形．