Question

如图，把含30°角的三角板放置在如图所示的平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠B=30°，OA=2，斜边AB∥x轴，点A在双曲线上．

（1）求双曲线的解析式；

（2）把三角板AOB绕点A顺时针旋转，使得点O的对应点C落在x轴的负半轴上的对应线段为AD，试判断点D是否在双曲线上？请说明理由．

Answer

（1）双曲线的解析式为y=-；（2）∴点D在双曲线上．理由见试题解析。

【解析】

试题分析：（1）如图，先求出∠AOE=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系求出AE和OE，从而得到A点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；

（2）利用旋转的性质得AC=AO，∠CAO=∠BAD，则可判断△AOC为等边三角形，得到∠CAO=∠BAD=60°，于是可判断点D在AC的延长线上，然后通过证明点A与点D关于原点对称得到点D是在双曲线上．

试题解析：（1）设AB与y轴相交于点E．∵AB∥x轴，∴∠AEO=90°,

在Rt△AEO中，∠A=90°﹣30°=60°，OE=OA60°=2×=，AE=OA°=2×=1．

∴点A的坐标为（-1，），设双曲线的解析式为y=(k≠0），代入（-1，）可得k=，

∴双曲线的解析式为y=；

（2）点D是在双曲线上．理由如下：∵AB∥x轴，∴∠AOC=∠BAO=60°,∵△ACD是由△AOB绕点A旋转得到的，∴AO=AC，AB=AD,∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO=60°，即旋转角∠BAD=∠CAO=60°，

又∠BAO=60°，∴点O在AD上，在Rt△AOB中，∠B=30°，AB=2AO，∴AD=2AO，AO=OD，

∴点D与点A关于点O中心对称．∴点D在双曲线上．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．