Question

如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，8），点D是抛物线上的动点，直线AD与y轴交于点K．

（1）填空：c= ；

（2）若点D的横坐标为2，连接OD、CD、AC，以AC为直径作⊙M，试判断点D与⊙M的位置关系，并说明理由．

（3）在抛物线上是否存在点D，使得∠BAC=2∠BAD？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）8；（2）点D在⊙M上．理由见试题解析；（3）D的坐标为（2，4）或（）．

【解析】

试题分析：（1）把C（0，8）代入抛物线y=﹣x2﹣x+c，计算即可求得c的值；

（2）点D与⊙M上，理由：由（1）得抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+8，进一步得到点D的坐标为（2，4），根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标为（﹣6，0），根据待定系数法可求直线AD的解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点K的坐标为（0，3），在Rt△AOK中，根据三角函数得到tan∠KAO，作DE⊥y轴于点E，则DE=2，CE=8﹣4=4，在Rt△CED中，根据三角函数得到tan∠ECD，tan∠ECD==，可得∠KAO=∠ECD，进一步得到∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，可得点D在⊙M上．

（3）分两种情况讨论：i）当直线AD在x轴的上方时；ii）当直线AD在x轴的下方时，直线AD关于x轴的对称图形为直线AD'，进行讨论，可求符合条件的点D的坐标．

试题解析：（1）把C（0，8）代入抛物线y=﹣x2﹣x+c，得c=8．

故答案为：8；

（2）点D与⊙M上，

理由如下：由（1）得：c=8，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+8，

当x=2时，y=﹣×22﹣×2+8=4，∴点D的坐标为（2，4），

在y=﹣x2﹣x+8中，令y=0，则﹣x2﹣x+8=0，

解得：x1=﹣6，x2=，∴点A的坐标为（﹣6，0）．

设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），又∵直线过点A（﹣6，0）和点D（2，4），

∴，解得：，∴直线AD的解析式为y=x+3．

令x=0，则y=3，∴点K的坐标为（0，3）．

在Rt△AOK中，tan∠KAO=，

作DE⊥y轴于点E，则DE=2，CE=8﹣4=4，

在Rt△CED中，tan∠ECD，

∴tan∠KAO=tan∠ECD，

即∠KAO=∠ECD

∵∠KAO+∠AKO=90°，

又∵∠AKO=∠CKD，

∴∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，

∴点D在⊙M上．

（3）分两种情况讨论：i）当直线AD在x轴的上方时，由（2）中可知：tan∠ECD=，

在Rt△OED中，tan∠EOD=，∴tan∠ECD=tan∠EOD，∠ECD=∠EOD，CD=OD，

∵∠AOC=90°，∴点O在⊙M上．在⊙M中，= ，∠CAD=∠DAB，即∠BAC=2∠BAD，

∴点D（2，4）符合题意．

ii）当直线AD在x轴的下方时，直线AD关于x轴的对称图形为直线AD'，

设直线AD'上的任意一点为（m，n），则点（m，n）关于x轴的对称点（m，﹣n）在直线AD上，

把点（m，﹣n）代入直线AD的解析式y=x+3，得：﹣n=m+3，n=﹣m﹣3，即y=﹣x﹣3，

联立得：﹣x﹣3=﹣x2﹣x+8，

整理得：5x2+8x﹣132=0，

解得：x1=﹣6，x2=，

∴点D(，-）．

综上，符合条件的点D的坐标为（2，4）或(，-）．

【考点】二次函数综合题．