Question

阅读理解

在⊙I中，弦AF与DE相交于点Q，则AQ•QF=DQ•QE．你可以利用这一性质解决问题．

问题解决

如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，高AO在y轴的正半轴上，点Q（0，1）是等边△ABC的重心，过点Q的直线分别交边AB、AC于点D、E，直线DE绕点Q转动，设∠OQD=α（60°＜α＜120°），△ADE的外接圆⊙I交y轴正半轴于点F，连接EF．

（1）填空：AB= 2 ；

（2）在直线DE绕点Q转动的过程中，猜想：与的值是否相等？试说明理由．

（3）①求证：AQ²=AD•AE﹣DQ•QE；

②记AD=a，AE=b，DQ=m，QE=m（a、b、m、n均为正数），请直接写出mn的取值范围．

Answer

（1）；（2）见试题解析；（3）①见试题解析；②≤mn≤2．

【解析】

试题分析：（1）如图1，连接BQ，由点Q（0，1）是等边△ABC的重心，得到AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，根据等边三角形的性质即可得到结论；

根据等边三角形的性质得到∠DAF=∠FAE，根据相似三角形的性质得到=，根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论；（3）①由相似三角形的性质得到，根据线段的和差得到AD•AE=（AQ+QF）•AQ，化简即可得到结论；②如图2，过点E作ET⊥AB于T，解直角三角形得到E=AE•sin60°=b，求得S△ADE=ab，当α=90°时，此时DE∥x轴，S△ADE最小，根据相似三角形的性质得到，得到，当α=120°时，此时DE经过点C，即点E和点C重合，S△ADE最大，根据三角形的面积得到，代入化简即可得到结论．

试题解析：（1）如图1，连接BQ，∵点Q（0，1）是等边△ABC的重心，

∴AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，∴AO=3，∴AB=sin60°•AO=2；

故答案为：2；

（2）相等，

理由：∵AO为等边△ABC的高，∴AO平分∠BAC，∴∠DAF=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，

∴△ADQ∽△AFE，∴=，∵∠QEF=∠OAE，∠AFE=∠QFE，

∴△AFE∽△QEF，∴，∴=；

（3）①∵△ADQ∽△AFE，∴=，∴AD•AE=AF•AQ，即AD•AE=（AQ+QF）•AQ，

∴AD•AE=AQ2+AQ•QF，∵AQ•QF=DQ•QE，∴AD•AE=AQ2+DQ•QE，即AQ2=AD•AE﹣DQ•QE；

②如图2，过点E作ET⊥AB于T，在Rt△AET中，∠EAT=60°，ET=AE•sin60°=b，S△ADE=AD•ET=AD•AE=AD•AE=ab，当α=90°时，此时DE∥x轴，S△ADE最小，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，又∵S△ABC=×（2）2=3，∴，

当α=120°时，此时DE经过点C，即点E和点C重合，S△ADE最大，

∴S△ADE=S△ABC=×3=，∴≤ab≤，

∴≤ab≤，，由①证得：AQ2=AD•AE﹣DQ•QE，即22=ab﹣mn，

∴ab=mn+4，∴≤mn+4≤6，即≤mn≤2．

【考点】圆的综合题．