Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持ED⊥FD，连接DE，DF，EF，在此运动变化的过程中，有下列结论：

①AE=CF；

②EF最大值为2；

③四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化；

④点C到线段EF的最大距离为．

其中结论正确的有 （把所有正确答案的序号都填写在横线上）

Answer

①③④

【解析】

试题分析：如图，连接CD．

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，

∵D是AB的中点，

∴CD=AD=BD，∠ADC=90°，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠1+∠2=90°，

∵ED⊥FD，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF；

故①正确；

（2）设CE=x，则CF=AE=4﹣x，

在Rt△CEF中，EF=，

∵2（x﹣2）2+8有最小值，最小值为8，

∴EF有最小值，最小值为．

故②错误；

③由①知，△ADE≌△CDF，

∴S四边形EDFC=S△EDC+S△FDC=S△EDC+S△ADE=S△ADC，

∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．

故③正确；

④由①可知，△ADE≌△CDF，

∴DE=DF，

∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF=DE，

当EF∥AB时，∵AE=CF，

∴E，F分别是AC，BC的中点，

故EF是△ABC的中位线，

∴EF取最小值=，

∵CE=CF=2，

∴此时点C到线段EF的最大距离为．

故④正确．

故答案为：①③④．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．