Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠DAB，过点C作直线CD，使得CD⊥AD于D．

（1）求证：直线CD与⊙O相切；

（2）若AD=3，AC=，求直径AB的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）4．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；

（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．

试题解析：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，，∴OC⊥CD．

又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切于点C

（2）连接BC，则∠ACB=90°．∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，∴，∴AB==4．

考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．