Question

将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．DF=8．

（1）若P是BC上的一个动点，当PA=DF时，求此时∠PAB的度数；

（2）将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．

①求证：AD∥BF；

②若P是BC的中点，连接FP，将等腰直角三角板ABC绕点B继续旋转，当旋转角α=  时，FP长度最大，最大值为  （直接写出答案即可）．

Answer

（1）∠PAB的度数为15°或75°；

（2）①见试题解析；

②210°，16+4．

【解析】

试题分析：（1）利用锐角三角函数求出∠APH，然后分两种情况计算即可；

（2）①作出AM⊥BC，DN⊥BC，得到AM∥DN，在计算出AM，DN，得到AM=DN，出现平行四边形AMND，②先判断出PF最大时，点P落在FB的延长线上，再求解即可．

如图1，

D，

试题解析：（1）作AH⊥BC于H，∴AH=BC，∵DF=8，∠DEF=30°，∴BC=DE==8，

∴AH=4，当PA=DF=8时，sin∠APH==，∴∠APH=60°，

①∵∠ABC=45°，∠AP1H=60°，∴∠BAP1=∠AP1H﹣∠ABC=15°，

②∵∠ACB=45°，∠AP2H=60°，∴∠CAP2=∠AP2B﹣∠ACB=15°，

∵∠BAC=90°，∴∠BAP2=90°﹣∠CAP2=75°；∴∠PAB的度数为15°或75°；

（2）①如图2作AM⊥BC，DN⊥BC，在Rt△ABC中，AB=AC，BC=8，

∴AM=BC=×8=4，在Rt△BCF中，∠F=60°，DF=8，∴DN=DF×sin∠F=8×=4，

∴AM=DN，∵AM∥DN，∴四边形AMND是平行四边形，∴AD∥BC；

②∵P是BC的中点，且FP长度最大，则有点F，B，P在同一条直线上，

即：点P在FB的延长线上，

∴BC边旋转180°，

∵∠CDF=30°，

∴旋转角α=210°，

∵P是BC的中点，BC=8，

∴BP=4，

∵BF=2DF=16，

∴FP=16+4，

故答案为210°，16+4．

考点：几何变换综合题．