Question

如图，已知等边△ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)求FG的长；(3)求tan∠FGD的值．

Answer

(1)证明过程见解析；(2)；(3)

【解析】

试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB得到∠ODB=60°，得到OD∥AC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据Rt△CDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DH⊥AB，根据垂直得出FG∥DH，根据Rt△BDH求出BH、DH的长度，然后得出∠GDH的正切值，从而得到∠FGD的正切值.

试题解析：(1)如图①，连结OD， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，

而OD＝OB， ∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°， ∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC， ∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线

(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，

∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，

∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝

(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，

∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝

考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.