Question

已知关于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

Answer

(1)等腰三角形；理由见解析；(2)直角三角形；理由见解析；(3) =0， =－1

【解析】试题分析：(1)、将x=-1代入方程得出a+c﹣2b+a﹣c=0。从而得出结论；(2)、根据方程有两个相等的实数根，则根的判别式为零，从而得出答案；(3)、将a=b=c代入，从而得出2ax2+2ax=0即x2+x=0，然后求出方程的解.

试题解析：(1)、△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形；

(2)、∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形；

(3)、当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1

考点：一元二次方程的解