Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.

(1)求的值及这个二次函数的关系式；

(2)P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)m=1，y=－2x+1；(2)h=－+3x(0＜x＜3)；(3)P(2,3)

【解析】

试题分析：(1)将点A代入直线解析式求出m的值，将二次函数设出顶点式，然后求出函数解析式；(2)、分别得出点P和点E的纵坐标，然后将两点的纵坐标做差得出h与x的函数关系式；(3)、根据平行四边形性质可得：PE=DC，根据点D在直线y=x+1上得出点D的坐标，从而得出方程求出x的值，得出点P的坐标.

试题解析：(1)∵ 点A(3,4)在直线y=x+m上，∴ 4=3+m. ∴m=1.

设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2. ∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，

∴ 4=a(3-1)2, ∴ a=1. ∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1.

(2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE ∴ PE=h=yP-yE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.

即h=-x2+3x (0＜x＜3).

(3)存在.要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. ∵ 点D在直线y=x+1上,

∴ 点D的坐标为(1,2),∴ -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 . 解得：x1=2，x2=1 (不合题意，舍去)

∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.

考点：二次函数的综合应用