Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0）．直线y=h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；

（3）已知一定点M（﹣2，0）．问：是否存在这样的直线y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+6；

（2）当h=3时，△BDE的面积最大，最大面积是；

（3）存在这样的直线y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（﹣2，4）；当h=2时，点G的坐标为（，2）．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）首先利用待定系数法求得经过点B和点C的直线的解析式，由题意可得点E的坐标为（0，h），则可求得点D的坐标为（，h），则可得S△BDE=•OE•DE=•h•=﹣（h﹣3）2+，然后由二次函数的性质，即可求得△BDE的面积最大；

（3）分别从①若OF=OM，则=2，②若OF=MF，则=与③若MF=OM，则=去分析求解即可求得答案．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），

∴．解得：．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+6．

（2）∵把x=0代入y=﹣x2﹣x+6，得y=6．∴点C的坐标为（0，6）．

设经过点B和点C的直线的解析式为y=mx+n，则，解得．

∴经过点B和点C的直线的解析式为：y=﹣3x+6．∵点E在直线y=h上，

∴点E的坐标为（0，h）．∴OE=h．∵点D在直线y=h上，∴点D的纵坐标为h．

把y=h代入y=﹣3x+6，得h=﹣3x+6．解得x=．∴点D的坐标为（，h）．∴DE=．

∴S△BDE=•OE•DE=•h•=﹣（h﹣3）2+．∵﹣＜0且0＜h＜6，

∴当h=3时，△BDE的面积最大，最大面积是．

（3）存在符合题意的直线y=h．

设经过点A和点C的直线的解析式为y=kx+p，则，解得．

故经过点A和点C的直线的解析式为y=2x+6．

把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6．解得x=．∴点F的坐标为（，h）．

在△OFM中，OM=2，OF=，MF=．

①若OF=OM，则=2，

整理，得5h2﹣12h+20=0．

∵△=（﹣12）2﹣4×5×20=﹣256＜0，

∴此方程无解．

∴OF=OM不成立．

②若OF=MF，则=，

解得h=4．

把y=h=4代入y=﹣x2﹣x+6，得﹣x2﹣x+6=4，

解得x1=﹣2，x2=1．

∵点G在第二象限，

∴点G的坐标为（﹣2，4）．

③若MF=OM，则=2，

解得h1=2，h2=﹣（不合题意，舍去）．

把y=h1=2代入y=﹣x2﹣x+6，得﹣x2﹣x+6=2．

解得x1=，x2=．∵点G在第二象限，

∴点G的坐标为（，2）．

综上所述，存在这样的直线y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（﹣2，4）；当h=2时，点G的坐标为（，2）．

考点：待定系数法求函数的解析式；二次函数的性质以；等腰三角形的性质．