Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连结BE、DF，点P在DF上，且BP=BC，连接EP并延长交BC的延长线于点Q．

（1）△ABE≌△CDF；（2）求∠BPE的度数；

（3）若BC=nCQ．试求n的值．

Answer

（1）见解析；

（2）∠BPE=∠BAE=90°；

（3）4

【解析】

试题分析：（1）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明．

（2）连接EF作PM⊥EB于M，FN⊥EB于N，连接AM，先证明△PMB≌△FNE，再证明△EBP≌△EBA，即可解决问题．

（3）连接AM，先证明A、M、P共线，设AB=2a，则DE=AE=CF=BF=a，DF=BE=a，由△APD∽△BAE，得==，求出PD=a，PF=a，由ED∥FQ，得到==，求出FQ．CQ即可解决问题．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCF=90°，

∵DE=AE，CF=FB，∴AE=CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF．

（2）连接EF作PM⊥EB于M，FN⊥EB于N，∵DE∥BF，DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形，

∴PM=FN，∵DE=CF，DE∥CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴EF=CD=BC=PB，

在RT△PMB和RT△FNE中，，∴△PMB≌△FNE，∴∠FEN=∠PBM=∠EBA，

在△EBP和△EBA中，，∴△EBP≌△EBA，

∴EP=EA，∠BPE=∠BAE=90°，

（3）连接AM．∵BP=BA，EP=EA，

∴EB垂直平分AP，

∴A、M、P共线，设AB=2a，则DE=AE=CF=BF=a，DF=BE=a，∵DF∥EB，AP⊥EB，∴AP⊥DF，∵∠APD=∠BAE=90°，∠DAP=∠ABE，∴△APD∽△BAE，∴==，∴PD=a，PF=a，∵ED∥FQ，∴==，∴FQ=a，∴CQ=a，∵BC=nCQ，∴2a=na，∴n=4．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定和性质；平行线的性质；相似三角形的判定；性质勾股定理．