Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣1）²+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0）．点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q以PQ为边作Rt△PQF，使∠PQF=90°，点F在点Q的下方，且QF=1．设点P的横坐标为m．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若线段PQ的长度为d．

①求d与m之间的函数关系式；

②当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，求d的值．

（3）以OB为边作等腰直角△OBD，当0＜m＜3时，直接写出点F落在△OBD的边上时m的值．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3；

（2）①d=﹣m2+3m；

②点P横坐标1+；

（3）2，1+；1+，．

【解析】

试题分析：（1）将点B（3，0）代入抛物线y=a（x﹣1）2+4即可．

（2）①分两种情形当﹣1≤m＜0时，如图1，当0＜m≤3时，如图2，分别计算即可．

②根据P、Q两点关于y轴对称，列出方程m+m2﹣2m=0即可．

（3）分四种情形见图4、图5、图6、图7分别计算即可．

试题解析：（1）将点B（3，0）代入抛物线

y=a（x﹣1）2+4．

得4a+4=0．

解得a=﹣1．

∴这条抛物线所对应的函数表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4．

即：y=﹣x2+2x+3．

（2）由（1）得对称轴为直线x=1．

∵B（3，0）．

∴A（﹣1，0）．

当x=0时，y=﹣1+4=3．

∴C（0，3）．

设直线BC的解析式是：y=kx+b．

将B、C代入，得：．解得．

∴直线BC的函数解析式是：

y=﹣x+3．

①由题意知P（m，﹣m2+2m+3）．

∵PQ⊥y轴．

∴Q（m2﹣2m，﹣m2+2m+3）．

根据题意知：﹣1≤m＜0或0＜m≤3．

当﹣1≤m＜0时，如图1，

d=m2﹣2m﹣m

=m2﹣3m．

当0＜m≤3时，如图2，

d=m﹣（m2﹣2m）

=﹣m2+3m．

②如图3中，

当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，设PF与y轴交于点M，可得N为线段PQ中点．

∴P、Q两点关于y轴对称，

∴m+m2﹣2m=0，

解得m1=0，m2=1，

∵点P不与点C重合，

∴m=1，

当m=1时，d=﹣12+3×1=2；

（3）①如图4中，

点F在OC边上，点P的纵坐标为3，

当y=3时，3=﹣x2+2x+3，解得x=0（舍弃），或2，

∴此时点P横坐标为2．

②如图5中，

∵直线BC解析式为y=﹣x+3，直线OD解析式为y=x，

∵QF=1，

∴﹣x+3﹣x=1，

∴x=1，

∴点Q坐标（1，2），

y=2时，2=﹣x2+2x+3．解得x=1+ 或1﹣（舍弃），

∴此时点P横坐标1+．

③如图6中，

此时的Q坐标（2，1），

当y=1时，1=﹣x2+2x+3，解得x=1+或1﹣（舍弃）．

∴此时点P横坐标为1+．

④如图7中，

∵直线BC解析式为y=﹣x+3，直线BD解析式为y=x﹣3，∵QF=1，∴﹣x+3﹣（x﹣3）=1，

∴x=2.5，∴点Q坐标（2.5，0.5），

当y=0.5时，0.5=﹣x2+2x+3，解得x=或（舍弃）

∴此时点P横坐标为．

综上所述m的值分别为：2，1+，1+，．

考点：二次函数综合题；一次函数；两点之间的距离．