Question

已知：如图，在中，，，点D在BC边上运动，作，DE交AC于E。

（1）求证：；

（2）当AD=DE时，求BD的长；

（3）当AE=DE时，求BD的长。

Answer

（1）、证明过程见解析；（2）、1；（3）、

【解析】

试题分析：（1）、根据AB=AC得出∠B＝∠C，然后根据∠ADE＝∠B得出∠BAD＝∠EDC，从而得出三角形相似；（2）、根据相似以及AE=DE得出△ABD和△DCE全等，从而得出AB=CD=5，根据BD=BC-DC得出答案；（3）、根据AE=DE得出∠EAD＝∠EDA，结合∠C为公共角得出△CAB和△CDA相似，从而求出CD的长度，然后得出BD的长度.

试题解析：（1）、∠B＝∠C， ∵∠ADC＝∠BAD＋∠B，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC

∵∠ADE＝∠B ∴∠BAD＝∠EDC 又∵∠B＝∠C ∴△ABD∽△DCE

（2）、当AD＝DE时，由（1）知△ABD∽△DCE， ∴△ABD≌△DCE，

，故，

（3）、当时，可知∠EAD＝∠EDA， ∵∠BAD＝∠EDC，∴∠CAB＝∠CDA

又∵∠C＝∠C，∴△CAB∽△CDA，

考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、三角形相似的判定与性质.