Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．

（1）求证：BE=DF

（2）连接AC交EF于点D，延长OC至点M，使OM=OA，连结EM、FM，试证明四边形AEMF是菱形．

Answer

（1）、证明过程见解析；（2）、证明过程见解析

【解析】

试题分析：（1）、根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠D=90°，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF；（2）、求出CE=CF，然后利用“边边边”证明△AEC和△AFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAC=∠FAC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EM=FM，再判断出EF垂直平分AM，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=EM，然后根据四条边都相等的四边形是菱形证明．

试题解析：（1）、在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF；

（2）、∵BC=CD，BE=DF， ∴BC﹣BE=CD﹣CF， 即CE=CF，

在△AEC和△AFC中，， ∴△AEC≌△AFC（SSS）， ∴∠EAC=∠FAC，

又∵AE=AF， ∴AC垂直平分EF， ∴EM=FM， ∵OM=OA， ∴EF垂直平分AM，

∴AE=EM， ∴AE=EM=FM=AF， ∴四边形AEMF是菱形．

考点：（1）、正方形的性质；（2）、全等三角形的判定与性质；（3）、菱形的判定