Question

直线y=x+b与双曲线y=交于点A（﹣1，﹣5）．并分别与x轴、y轴交于点C、B．

（1）直接写出b=     ，m=     ；

（2）根据图象直接写出不等式x+b＜的解集为         ；

（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）、b=－4，m=5；（2）、x＜－1或0＜x＜5；（3）、（6,0）或（20,0）

【解析】

试题分析：（1）、把A的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，即可求得b和m的值；（2）、根据图象即可直接写出，即反比例函数的图象在一次函数的图象上部的部分x的取值；（3）、求得△OAB的边长，点D在x轴的正半轴上，可以分D在线段OC上（不在O点）或线段OC的延长线上两种情况讨论，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得．

试题解析：（1）、把A（﹣1，﹣5）代入y=x+b得：﹣5=﹣1+b，解得：b=﹣4．

把A（﹣1，﹣5）代入y=，得：m=（﹣1）（﹣5）=5．

（2）、解集为：x＜﹣1或0＜x＜5，

（3）、OA=， 在y=x﹣4中，令x=0，解得y=﹣4，则B的坐标是（0，﹣4）．

令y=0，解得：x=4，则C的坐标是（4，0）． 故OB=4，AB==，BC=4，OC=4．

∴OB=OC，即△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OCB=∠OBC=45°，∠BCE=135°．

过A作AD⊥y轴于点D．则△ABD是等腰直角△，∠ABD=45°，∠ABO=135°．

1）当D在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似；

2）当D在线段OC的延长线上时，设D的坐标是（x，0），则CD=x﹣4， ∠ABO=∠BCD=135°，

当△AOB∽△DBC时，，即， 解得：x=6， 则D的坐标是（6，0）；

当△AOB∽△BDC时，，即， 解得：x=20， 则D的坐标是（20，0）．

则D的坐标是（6，0）或（20，0）．

考点：反比例函数综合题