Question

如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；

（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．

Answer

（1）见解析；

（2）CF=；

（3）sin∠E=．

【解析】

试题分析：（1）连结OC，如图1，根据切线的性质得OC⊥DE，而AD⊥DE，根据平行线的性质得OC∥AD，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，则∠1=∠2，所以AC平分∠DAB；

（2）如图1，由B为OE的中点，AB为直径得到OB=BE=2，OC=2，在Rt△OCE中，由于OE=2OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OEC=30°，则∠COE=60°，由CF⊥AB得∠OFC=90°，所以∠OCF=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OF=OC=1，CF=OF=；

（3）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG，利用相似的性质得==，再证明△ECO∽△EDA，利用相似比得到==，设⊙O的半径为R，OE=x，代入求得OE=3R；最后在Rt△OCE中，根据正弦的定义求解．

试题解析：（1）连结OC，如图1，∵DE与⊙O切于点C，∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴∠2=∠3，∵OA=OC，∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2，

即AC平分∠DAB；

（2）如图1，

∵直径AB=4，B为OE的中点，

∴OB=BE=2，OC=2，

在Rt△OCE中，OE=2OC，

∴∠OEC=30°，

∴∠COE=60°，∵CF⊥AB，∴∠OFC=90°，∴∠OCF=30°，∴OF=OC=1，CF=OF=；

（3）连结OC，如图2，∵OC∥AD，∴△OCG∽△DAG，∴==，∵OC∥AD，

∴△ECO∽△EDA，∴==，设⊙O的半径为R，OE=x，∴=，解得OE=3R，

在Rt△OCE中，sin∠E===．

考点：切线的性质；平行线的性质；锐角三角函数的定义．