Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）求证：BC=AB；

（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MNMC的值．

Answer

（1）见解析；

（2）见解析；

（3）MNMC=8．

【解析】

试题分析：（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；

（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；

（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MNMC；代入数据可得MNMC=BM2=8．

试题解析：（1）∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．

（2）∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC．∴BC=AB．

（3）连接MA，MB，∵点M是的中点，∴，∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．

∴．∴BM2=MNMC．又∵AB是⊙O的直径，，

∴∠AMB=90°，AM=BM．∵AB=4，∴BM=2．

∴MNMC=BM2=8．

考点：圆的切线的判定；圆周角定理的运用；相似三角形的判定和性质的应用．