Question

如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）用含有t的代数式表示AE=  ．

（2）当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形．

（3）如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形．

Answer

（1）AE=AP=5﹣t；

（2）当t=时，▱AQPD是矩形；

（3）当t=时，□AQPD是菱形．

【解析】

试题分析：（1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可；

（2）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；

（3）利用菱形的性质得到．

试题解析：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．∴由勾股定理得：AB=10cm，

∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，∴BP=2tcm，

∴AP=AB﹣BP=10﹣2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE=AP=5﹣t；

（2）当▱AQPD是矩形时，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，即，解之 t=．∴当t=时，▱AQPD是矩形；

（3）当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则 COS∠BAC==，即，解之 t=

∴当t=时，□AQPD是菱形．

考点：相似形的综合知识；平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质．