Question

已知点A是双曲线y=在第三象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为      ．

Answer

y=﹣．

【解析】

试题分析：求出C点坐标是解题的关键，设点A的坐标为（a，），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，继而得出y与x的函数关系式．如图，

，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设A（a，），∵点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，则B（﹣a，﹣），∵△ABC为等边三角形，∴AB⊥OC，OC=AO，∵AO=，

∴CO=×=，∵∠BOD+∠COD=∠COD+∠OCD=90°，∴∠BOD=∠OCD，设点C的坐标为（x，y），则tan∠BOD=tan∠OCD，即=﹣，解得：y=﹣x，在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，即y2+x2=3a2+，将y=﹣x代入，得（）x2=3（），解得：x2=，故x=，y=-a，则xy=﹣15，故可得：y=﹣（x<0）．故答案为y=﹣．

考点：1.待定系数法求反比例函数解析式；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.等边三角形的性质．