Question

如图，▱ABCD的顶点A、C、D都在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，BC与⊙O交于点E，设∠OCD=α，∠BAD=β．

（1）求证：AB=AE；

（2）试探究α与β之间的数量关系．

Answer

（1）证明参见解析；（2）β=135°﹣α．

【解析】

试题分析：（1）连接DE,先证明∠CED=∠ADE，推出弧AE=弧CD，进一步推出AE=CD，因为AB=CD,由此即可证明；（2）延长AO交CD于F，由β=90°+∠OAD，∠OAD=∠FOD，∠FOD=∠FOC=90°﹣α，由此即可解决问题.

试题解析：（1）连接DE．先证明∠CED=∠ADE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB=CD，∴∠CED=∠ADE，∴弧AE=弧CD，∴AE=CD，∵AB=CD,∴AB=AE；（2）延长AO交CD于F，∵AB是⊙O切线，∴AB⊥AF，∵AB∥CD，∴AF⊥CD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠COF=∠DOF=90°﹣α，∵∠OAD=∠ODA，∴（90°﹣α），∴β=∠BAF+∠OAD=90°+∠OAD=90°+（90°﹣α）=135°﹣α．故α与β之间的数量关系为β=135°﹣α．

考点：1.切线的性质；2.平行四边形的性质；3.圆周角定理.