Question

如图1，若抛物线L₁的顶点A在抛物线L₂上，抛物线L₂的顶点B在抛物线L₁上（点A与点B不重合），我们把这样的两抛物线L₁、L₂互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．

（1）在图1中，抛物线：L₁：y=﹣x²+4x﹣3与L₂：y=a（x﹣4）²﹣3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为      ，a的值为      ；

（2）在图2中，已知抛物线L₃：y=2x²﹣8x+4，它的“伴随抛物线”为L₄，若L₃与y轴交于点C，点C关于L₃的对称轴对称的对称点为D，请求出以点D为顶点的L₄的解析式；

（3）若抛物线y=a₁（x﹣m）²+n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y=a₂（x﹣h）²+k，请写出a₁与a₂的关系式，并说明理由．

Answer

（1）A（2，1），a为1；（2）y=﹣2（x﹣4）2+4；（3）a1=﹣a2，理由参见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据点A是抛物线L1的顶点，可得点A的坐标，再把点A坐标代入抛物线L2中求得a的值；（2）由L3解析式可知点C坐标，进而知道点C关于对称轴的对称点D的坐标，设L4解析式：y=a（x﹣h）2+k，将顶点D的坐标及L3顶点坐标代入，求出系数a，得到以点D为顶点的L3的“伴随抛物线”L4的解析式，于是求出L4的解析式；（3）根据抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得：（a1+a2）（m﹣h）2=0，可得a1=﹣a2．

试题解析：（1）∵点A是抛物线L1的顶点，抛物线L1：y=﹣x2+4x﹣3=-（x-2）2+1，∴此抛物线的顶点坐标为A（2，1），∵抛物线L2过点A（2，1），∴把点A坐标代入抛物线L2中，1=a（2﹣4）2﹣3，∴a=1，故答案为A（2，1），a=1；（2）由L3解析式：y=2x2﹣8x+4化成顶点式，得y=2（x﹣2）2﹣4，∵L3与y轴交于点C，∴C（0，4），对称轴为直线x=2，顶点坐标（2，﹣4）．∴点C关于对称轴x=2的对称点D（4，4），设L4：y=a（x﹣h）2+k，将顶点D（4，4）代入得，y=a（x﹣4）2+4，再将点（2，﹣4）代入得，﹣4=4a+4，解得：a=﹣2，所以L3的伴随抛物线L4的解析式为：y=﹣2（x﹣4）2+4；（3）a1=﹣a2，理由如下：∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，∴可以列出两个方程，①+②得：（a1+a2）（m﹣h）2=0，∵伴随抛物线的顶点不重合，∴a1=﹣a2

考点：1.二次函数综合题；2.阅读理解题.