Question

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE=30°，DE交AC于点E．

（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是直角三角形；

（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．

Answer

(1)、直角三角形；(2)、△ECD可以是等腰三角形，∠AED=60°或105°

【解析】

试题分析：(1)、由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°﹣30°=90°，则△ACD是直角三角形；(2)、分类讨论：当∠CDE=∠ECD时，EC=DE；当∠ECD=∠CED时，CD=DE；当∠CED=∠CDE时，EC=CD；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．

试题解析：(1)、∵△ABC中，AC=BC， ∴∠A=∠B===30°，

∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=30°， 又∵∠CDE=30°， ∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°，

∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣30°﹣60°=90°， ∴△ACD是直角三角形；

(2)、△ECD可以是等腰三角形．理由如下：

①当∠CDE=∠ECD时，EC=DE， ∴∠ECD=∠CDE=30°， ∵∠AED=∠ECD+∠CDE， ∴∠AED=60°，

②当∠ECD=∠CED时，CD=DE， ∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，

∴∠CED===75°， ∴∠AED=180°﹣∠CED=105°，

③当∠CED=∠CDE时，EC=CD， ∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠CDE=180°﹣30°﹣30°=120°，

∵∠ACB=120°， ∴此时，点D与点B重合，不合题意．

综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°

考点：(1)、三角形内角和定理；(2)、分类讨论思想的运用；(3)、等腰三角形的判定与性质．