Question

如图，取一张长方形纸片ABCD，沿AD边上任意一点M折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，设折痕为MN，D′C′交BC于点E且∠AMD′=α，∠NEC′=β

（1）探究α、β之间的数量关系，并说明理由．

（2）连接AD′是否存在折叠后△AD′M与△C′EN全等的情况？若存在，请给出证明；若不存在，请直接作否定的回答，不必说明理由．  

Answer

(1)、α+β=90°；(2)、点D′与点B重合时，△AD′M与△C′EN全等；证明过程见解析.

【解析】

试题分析：(1)、α+β=90°．如图1，延长MD′交BC于点F．利用平行线的性质得到：∠AM D′=∠MFE=α．然后根据折叠的性质推知：∠MFE+∠D′EF=90°，∠D′EF=∠NEC′，故α+β=90°；(2)、当点D′与点B重合时，△AD′M与△C′EN全等．如图2，此时，B、E、D′三点重合．利用折叠的性质和全等三角形的判定定理HL证得这两个三角形全等；

试题解析：(1)、α+β=90°．理由如下：

如图1，延长MD′交BC于点F．∵AD∥BC， ∴∠AM D′=∠MFE=α．

又∠MD′E=∠D=90°，∠FD′E=90°，∴∠MFE+∠D′EF=90°，∠D′EF=∠NEC′， 故α+β=90°；

(2)、当点D′与点B重合时，△AD′M与△C′EN全等．

如图2，此时，B、E、D′三点重合．∵由折叠可知，∠1=∠2，∴∠C′=∠C=∠A=90°，C′E=CD．

∵AD∥BC，∠2=∠3， 得∠1=∠3，即D′M=EN． 又AD′=DC， ∴AD′=C′E，

∴在Rt△AD′M与Rt△C′EN中，，故Rt△AD′M≌Rt△C′EN（HL）．

考点：四边形综合题．