Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点B在x轴的正半轴上，已知∠OBA=90°，OB=3，sin∠AOB=．反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A．  

（1）求反比例函数的解析式；  

（2）若点C（m，2）是反比例函数y=（x＞0）图象上的点，则在x轴上是否存在点P，使得PA+PC最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．  

Answer

(1)、y=；(2)、(5，0).

【解析】

试题分析：(1)、首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式即可；(2)、首先求得点A关于x轴的对称点的坐标，然后求得直线A′C的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标．

试题解析：(1)、∵∠OBA=90°，sin∠AOB=，可设AB=4a，OA=5a， ∴OB═=3a，

又OB=3，∴a=1，∴AB=4，∴点A的坐标为（3，4） ∵点A在其图象上， ∴4=，

∴k=12； ∴反比例函数的解析式为y=；

(2)、在x轴上存在点P，使得PA+PC最小．理由如下：

∵点C（m，2）是反比例函数y=（x＞0）图象上的点，k=12， ∴2=，

∴m=6，即点C的坐标为（6，2）； 作点A（3，4）关于x轴的对称点A′（3，﹣4），如图，连结A′C．

设直线A'C的解析式为：y=kx+b，∵A′（3，﹣4）与（6，2）在其图象上，

∴，解得 ∴直线A'C的解析式为：y=2x﹣10， 令y=0，解得x=5，

∴P（5，0）可使PA+PC最小．

考点：(1)、待定系数法求反比例函数解析式；(2)、轴对称-最短路线问题．