Question

如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．例如：321，6543，98，…都是“妙数”．

（1）若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为  ．

（2）证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除．

（3）在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A，且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n，使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都相同？若存在请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）765（2）证明见解析（3）m=9，n=4

【解析】

试题分析：（1）设这个“妙数”个位数字为a，根据题意判断“妙数”的尾位数，从而得知这个“妙数”为3位数，列出方程100（x+2）+10（x+1）+x=153x，求解可得；

（2）设四位“妙数”的个位为x、两位“妙数”的个位为y，分别表示出四位“妙数”和两位“妙数”，再将四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1的结果除以11判断结果是否为整数即可；

（3）设三位“妙数”的个位为z，可知A=1000m+111z+210，继而可得9A+n=9000m+999z+1890+n=1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z，由﹣8≤n﹣z≤9、1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000知其百位数一定是8，且该数为5位数，若存在则该数为88888，从而得出，即9m+z=87、n﹣z=﹣2，由m＞z+2知z＜m﹣2，而z=87﹣9m＜m﹣2，解之可得m＞8.9，即可得m值，进一步即可得答案．

试题解析：（1）设这个“妙数”个位数字为a，

若这个“妙数”为4位数，则其个位数字最大为6，根据题意可知这个“妙数”最大为6×153=918，不合题意；

∴这个“妙数”为3位数，根据题意得：100（x+2）+10（x+1）+x=153x，

解得：x=5，

则这个“妙数”为765，

故答案为：765；

（2）由题意，设四位“妙数”的个位为x，则此数为1000（x+3）+100（x+2）+10（x+1）+x=1111x+3210，

设两位“妙数”的个位为y，则此数为10（y+1）+y=11y+10，

∴=101x﹣y+291，

∵x、y为整数，

∴101x﹣y+291也为整数，

∴任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除；

（3）设三位“妙数”的个位为z，由题意，得：

A=1000m+100（z+2）+10（z+1）+z=1000m+111z+210，

∴9A+n=9000m+999z+1890+n

=9000m+1000z+1890+n﹣z

=1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z，

∵m、n是一位自然数，0≤z≤9，且z为整数，

∴﹣8≤n﹣z≤9，

∵9A+n的百位为8，且1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000，

∴9A+n为五位数，且9A+n=88888，

∴，

∴9m+z=87，n﹣z=﹣2，

∵m＞z+2，

∴z＜m﹣2，

∴z=87﹣9m＜m﹣2，

∴m＞8.9，

∵m是一个自然数，

∴m=9，

于是z=6，n=4，

答：m=9，n=4．

考点：因式分解的应用