Question

在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，延长AB至点D，使BD=BC，点E是直线BC上一点，点F是直线AC上一点，连接DE．连接EF，且∠DEF=∠DBC．

（1）如图1，若∠D=∠EFC=15°，AB=，求AC的长．

（2）如图2，当∠BAC=45°，点E为线段BC的延长线上，点F在线段AC的延长线上时，求证：CF=BE．

（3）如图3，当∠BAC=90°，点E为线段CB的延长线上，点F在线段CA的延长线上时，猜想线段CF与线段BE的数量关系，并证明猜想的结论．

Answer

（1）3（2）证明见解析（3）CF=BE

【解析】

试题分析：（1）首先证明∠FEC=∠F=15°，推出∠ACB=30°，由此即可解决问题．

（2）如图2中，连接CD，作EM⊥EB交AF于M，作FN⊥BE于N，AF交DE于点O．∴由△EMC≌△ECD，推出EF=DE，再由△EFN≌△DEB，推出DB=EN=BC，推出BE=CN，推出△CFN是等腰直角三角形，由此即可解决问题．

（3）CF=BE．如图3中，连接CD、DF、作NE⊥CE交AD的延长线于N，在线段CE上截取一点M，使得FM=FE．只要证明△EDN≌△CMF，推出NE=CF，即可解决问题．

试题解析：（1）【解析】
在△BDE中，∠D+∠DBE+∠BED=180°，

∵∠DEB+∠DEF+∠FEC=180°，∠DEF=∠DBC，

∴∠D=∠FEC=∠F=15°，

∴∠ACB=∠F+∠CEF=30°，

在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=，∠ACB=30°，

∴BC=2AB=2，

∴AC==3．

（2）证明：如图2中，连接CD，作EM⊥EB交AF于M，作FN⊥BE于N，AF交DE于点O．

∵∠BAC=45°，∠ABC=2∠ACB，

∴∠ABC=90°，∠ACB=∠MCE=∠EMC=45°，

∴EM=EC，

∵BD=DC，

∴∠BDC=∠BCD=45°，

∴∠DCE=∠EMF=135°，

∵∠DEF=∠DBC=90°，∠FCD=∠DCA=90°，

∴∠OEF=∠OCD，∵∠EOF=∠COD，

∴∠OFE=∠ODC，

在△EMF和△ECD中，

，

∴△EMC≌△ECD，

∴EF=DE，

∵∠DEB+∠FEN=90°，∠EFN+∠FEN=90°，

∴∠EFN=∠DEB，

在△EFN和△DEB中，

，

∴△EFN≌△DEB，

∴DB=EN=BC，

∴BE=CN，

∵△CFN是等腰直角三角形，

∴CF=CN=BE．

（3）结论：CF=BE．

理由：如图3中，连接CD、DF、作NE⊥CE交AD的延长线于N，在线段CE上截取一点M，使得FM=FE．

∵∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，

∴∠ABC=60°，∠ACB=30°，

∵DB=BC，

∴∠DBC=120°，∠BDC=∠BCD=30°，

∴∠DBC=∠DEF=120°，∠DCA=∠DCB+∠ACB=60°，

∴∠DEF+∠DCF=180°，

∴E、F、C、D四点共圆，

∵∠DCE=∠ECF，

∴，

∴DE=EF=FM，

∵∠NEB=90°，∠NBE=∠ABC=60°，

∴∠N=∠ACM=30°，

∵∠DBC=∠BDE+∠DEB=∠DEB+∠FEM=∠DEB+∠FME，

∴∠BDE=∠FME，

∴∠NDE=∠FMC，

在△EDN和△FMC中，

，

∴△EDN≌△CMF，

∴NE=CF，

在Rt△NEB中，∵∠NEB=90°，∠N=30°，

∴NE=BE，

∴CF=BE．

考点：三角形综合题