Question

如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），已知C（0，）．连接AC．

（1）求直线AC的解析式．

（2）点P是x轴下方的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴交直线AC于点E，交x轴于点F，过点P作PG⊥AE于点G，线段PG交x轴于点H．设l=EP﹣FH，求l的最大值．

（3）如图2，在（2）的条件下，点M是x轴上一动点，连接EM、PM，将△EPM沿直线EM折叠为△EP₁M，连接AP，AP₁．当△APP₁是等腰三角形时，试求出点M的坐标．

Answer

（1）y=﹣（2）当m=﹣2时，l最大=4（3）M1（3﹣8，0），M2（2，0），M3（﹣3﹣8，0），M4（﹣，0）

【解析】

试题分析：（1）先令y=0求抛物线与x轴交点坐标，利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）如图1中，设点P（m，m2+m﹣3），则E（m，﹣m+），构建关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

（3）如图2中，分四种情形讨论即可①当P1P=P1A时，②AP=AP2时，③当P3P=P3A时，④当P4P=PA时，画出图形，求出点M坐标即可．

试题解析：（1）当y=0时，x2+x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=2，

∵点A在点B的右侧，

∴A（2，0）、B（﹣3，0）；

设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（2，0）、C（0，）代入得： 解得，

∴直线AC的解析式为：y=﹣；

（2）如图1中，在Rt△ACO中，tan∠OAC==

∵∠FPH+∠PHF=90°，∠OAC+∠AHG=90°，∠PHF=∠AHG，

∴∠HPF=∠OAC

∴tan∠FPH=tan∠OAC=

∵tan∠FPH=

∴FH=×FP×=FP

设点P（m，m2+m﹣3），则E（m，﹣m+），

∴EP=﹣m2﹣m+，FP=﹣m2﹣m+3，

于是l=EP﹣FH=EP﹣FP=﹣m2﹣m+3，

∵﹣＜0

∴l=﹣m2﹣m+3开口向下，对称轴x==﹣2，

∵点P是x轴下方的抛物线上一动点，

∴﹣3＜m＜2

∴在﹣3＜m＜2时，当m=﹣2时，l最大=4；

（3）如图2中，m=﹣2时，E（﹣2，3），P（﹣2，﹣2），

∵A（2，0），

∴EP=EA=5，

①当P1P=P1A时，AP中点K（0，﹣1），于是直线EK为y=﹣2x﹣1，

∴直线EK交x于I（﹣，0），EI=，

过点M1作M1J⊥EK于J，则EJ=EF=3，

∴IJ=﹣3，

∵△IEF∽△IM1J，

∴，

∴IM1=﹣3．

∴M1（3﹣8，0），

②AP=AP2时，△AEP≌△AEP2，

∴∠AEP=∠AEP2，

∴点M2与点A重合，

∴点M2（2，0）．

③当P3P=P3A时，由△EFM3∽△M1FE，得到EF2=FM3•FM1，

∴FM3=3+6，

∴点M3（﹣3﹣8，0），

④当P4P=PA时，作M4Q⊥EP4，设M4Q=M4F=x，

在RT△P4QM4中，

∵P4Q2+QM42=FP42，

∴22+x2=（4﹣x）2，

∴x=，

∴0M4=+2=，

∴点M4（﹣，0）．

综上所述点M1（3﹣8，0），M2（2，0），M3（﹣3﹣8，0），M4（﹣，0）．

考点：二次函数综合题