Question

如图，抛物线y=ax²+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；

（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；

（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

(1)、y=﹣x2+x+2；D(3，2)；(2)、P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）；(3)、（，），（﹣，）

【解析】

试题分析：(1)、用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标；(2)、分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标；(3)、结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a，﹣ a2+a+2），分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．

试题解析：(1)、∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴，

解得：∴y=﹣x2+x+2；当y=2时，﹣ x2+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍去），

即：点D坐标为（3，2）．

(2)、A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：

①当AE为一边时，AE∥PD， ∴P1（0，2），

②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，

可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，

∴P点的纵坐标为﹣2， 代入抛物线的解析式：﹣ x2+x+2=﹣2 解得：x1=，x2=，

∴P点的坐标为（，﹣2），（，﹣2）

综上所述：P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）．

(3)、存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣ a2+a+2），

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，∴∠FQ′P=∠OCQ′，

∴△COQ′∽△Q′FP，，，∴Q′F=a﹣3，

∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′==，

此时a=，点P的坐标为（，），

②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，﹣ a2+a+2＜0，CQ=﹣a，

PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，

∴△COQ′∽△Q′FP，，，Q′F=3﹣a，∴OQ′=3，

CQ=CQ′==，此时a=﹣，点P的坐标为（﹣，）．

综上所述，满足条件的点P坐标为（，），（﹣，）．

考点：二次函数综合题．