Question

如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD.

（1）求证：AD=AN；

（2）若AB=，ON=1，求⊙O的半径．

（3）若且AE=4，求CM

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、3；(3)、CM=2.

【解析】

试题分析：(1)、根据同弧所对的圆周角相等得出∠B=∠D，根据双垂直得出∠B=∠ANE，从而得出∠D=∠ANE，从而得到答案；(2)、设NE=x，则OE=x－1，ED=x，r=2x－1，根据Rt△AOE的勾股定理得出x的值，从而求出半径；(3)、根据△ANE的面积等于△ADE的面积以及S△CMN：S△AND=1:8，从而得出S△CMN：S△ANE=1:4，求出答案.

试题解析：(1)、根据图示可得：∠B=∠D ∵AM⊥BC，AB⊥CD ∴∠B=∠ANE

∴∠ANE=∠D ∴AD=AN

(2)、∵AB=，AE⊥CD，∴AE=，又∵ON=1，∴设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，

r=OD=OE+ED=2x-1 连结AO，则AO=OD=2x-1，

∵△AOE是直角三角形，AE=，OE=x-1，AO=2x-1， ∴

解得x=2，∴r=2x-1=3．

(3)、∵AD=AN,AB⊥CD，∴AE平分ND，∴S△ANE=S△ADE ∵S△CMN：S△AND=1:8，∴S△CMN：S△ANE=1:4，

又∵△CMN∽△AEN，∴ ∵AE=4，∴CM=2

考点：(1)、圆的基本性质；(2)、三角形相似.