Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AB＝10cm，AC∶BC＝4∶3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．

（1）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x＝5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．

（3）当点Q在BC边上运动时，是否存在x，使得以△PBQ的一个顶点为圆心作圆时，另外两个顶点均在这个圆上，若存在，求出 x的值；不存在，说明理由.

Answer

(1)、y=－＋8x（0＜x≤3），y=；(2)、16；(3)、x=.

【解析】

试题分析：(1)、分点Q在边BC上和点Q在边CA上运动；(2)、根据AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5以及AC=8，AB=10，从而得出PQ是AC的垂直平分线，则PC=AP=5，即当点M与P重合时，△BCM的周长最小；(3)、本题需要分三种情况得出答案.

试题解析：(1)、①当点Q在边BC上运动时．y=－＋8x（0＜x≤3），

②当点Q在边CA上运动时，y==（3＜x＜7）；

(2)、存在． 理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5， ∵AC=8，AB=10，

∴PQ是△ABC的中位线， ∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分线，

∴PC=AP=5， ∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，

∴△BCM的周长为： MB＋BC＋MC＝PB＋BC＋PC=5＋6＋5=16． ∴△BCM的周长最小值为16．

(3)、由题意得△PBQ为等腰三角形。

①PQ=PB,x=＞3(舍) ②BQ=BP，x=＞3（舍） ③QP=QB,x=，

综上所述，存在满足题意得x，x=.

考点：二次函数的综合应用.