Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴交于点M．

(1)求此抛物线的解析式和对称轴；

(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝(x－3)2－；对称轴是x＝3．(2) 存在，P点的坐标是(3，)．(3) N(，－3)．

【解析】

(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)．

把点A(0，4)代入上式，解得a＝．

∴y＝(x－1)(x－5)＝x2－x＋4＝(x－3)2－．

∴抛物线的对称轴是x＝3．

(2)存在，P点的坐标是(3，)．如图1，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB．

∵点B与点C关于对称轴对称，

∴PB＝PC．

∴AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC．

∴此时△PAB的周长最小．

设直线AC的解析式为y＝kx＋b．把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b，得

解得

∴y＝－x＋4．

∵点P的横坐标为3，

∴y＝－×3＋4＝．

∴P(3，)．

(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大．

如图2，设N点的横坐标为tt，此时点N(t，t2－t＋4)(0＜t＜5)．

过点N作y轴的平行线，分别交x轴，AC于点F，G，过点A作AD⊥NG，垂足为D．

由(2)可知直线AC的解析式为y＝－x＋4．

把x＝t代入y＝－x＋4，得y＝－t＋4．

∴G(t，－t＋4)．

∴NG＝－t＋4－(t2－t＋4)＝－t2＋4t．

∵AD＋CF＝OC＝5，

∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝NG·AD＋NG·CF＝NG·OC

＝×(－t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋．

∵当t＝时，△NAC面积的最大值为．

由t＝，得y＝×()2－×＋4＝－3．

∴N(，－3)．