Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．

（1）求证：EB=EC；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ODEC是正方形？证明你的结论．

Answer

详解解析

【解析】试题分析：（1）连接CD，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC为直径即可判定BC是⊙O的切线，所以∠ADC=90°，根据切线长定理可得DE=CE，根据等腰三角形的性质可得∠DCE=∠CDE，再由∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，即可得∠EBD=∠EDB，所以DE=BE，即可得CE =BE；（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ODEC是正方形，先证得四边形ODEC是矩形，再由EC=ED，即可判定四边形ODEC是正方形.

试题解析：

（1）证明：连接CD，

∵AC是直径，∠ACB=90°，

∴BC是⊙O的切线，∠ADC=90°．

∵DE是⊙O的切线，

∴DE=CE（切线长定理）．∴∠DCE=∠CDE，

又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，

∴∠EBD=∠EDB．∴DE=BE，

∴CE =BE．

（2）【解析】
当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ODEC是正方形. 证明如下：

△ABC是等腰直角三角形．则∠B=45°，

∴∠DCE=∠CDE=45°，则∠DEB=90°，

又∵OC=OD，∠ACB=90°，∴∠OCD=∠ODC=45°，

∴∠ODE=90°，

∴四边形ODEC是矩形，

∵EC=ED，

∴四边形ODEC是正方形.

点睛：本题考查了圆的综合题，涉及了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形、矩形、正方形的知识，综合性较强，解答本题的关键是作出辅助线，将所学知识融会贯通．