Question

如图，在△ABC中，∠C＝90° ，AC=BC=5，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，△CEF周长的最小值是____________．

Answer

5+

【解析】试题解析：连接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；

在△ADE与△CFD中，

，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△DFE是等腰直角三角形，

∵∠C=90°，AC=BC=5，

∴AB=5，

∴当△CEF周长的最小时，EF取最小值，

∴E、F分别为AC、BC中点时，EF的值最小，

∴EF=AB=，

∴△CEF周长的最小值=CE+CF+EF=AE+CE+EF=AC+EF=5+．

【点睛】连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；当E、F分别为AC、BC中点时，EF取最小值，根据三角形的中位线的性质得到EF，于是得到结论．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、直角三角形性质等知识，找到EF∥BC时取最小值是解题关键．