Question

定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．

性质：“朋友三角形”的面积相等．

如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，

那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”．并且S_ACD=S_BCD

应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90° ，AD∥BC, AB=AD=4，BC=6，点E在BC上，点F在AD上，BE=AF，AE与BF交于点O

（1）求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”;

（2）连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE 的面积 ．

       图1                       图2                图3

拓展：如图3， 在△ABC中，∠A＝30° ，AB=8 ，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形” ，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A'CD，若△A'CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的  ，则△ABC的面积是           (请直接写出答案)．

Answer

（1）△AOB和△AOF是“朋友三角形”（2）12（3） 8

【解析】试题分析：应用：（1）由AAS证明△AOF≌△EOB，得出OF=OB，AO是△ABF的中线，即可得出结论；

（2）△AOE和△DOE是“朋友三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE和梯形ABCD的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．

拓展：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积

试题解析：（1）∵AD∥BC，

∴∠OAF=∠OEB，

在△AOF和△EOB中，

，

∴△AOF≌△EOB（AAS），

∴OF=OB，

则AO是△ABF的中线．

∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”；

（2）∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”，

∴S△AOF=S△DOF，

∵△AOF≌△EOB，

∴S△AOB=S△EOB，

∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”

∴S△AOB=S△AOF，

∴S△AOF=S△DOF=S△AOB=S△EOB=×4×2=4，

∴四边形CDOE 的面积=S梯形ABCD-2S△ABE=×（4+6）×4-2×4=12；

拓展：分为两种情况：①如图1所示：

∵S△ACD=S△BCD．

∴AD=BD=AB=4，

∵沿CD折叠A和A′重合，

∴AD=A′D=AB=×8=4，

∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，

∴DO=OB，A′O=CO，

∴四边形A′DCB是平行四边形，

∴BC=A′D=4，

过B作BM⊥AC于M，

∵AB=8，∠BAC=30°，

∴BM=AB=4=BC，

即C和M重合，

∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC= ，

∴△ABC的面积=×BC×AC=×4×4=8

②如图2所示：

∵S△ACD=S△BCD．

∴AD=BD=AB，

∵沿CD折叠A和A′重合，

∴AD=A′D=AB=×8=4，

∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，

∴DO=OA′，BO=CO，

∴四边形A′BDC是平行四边形，

∴A′C=BD=4，

过C作CQ⊥A′D于Q，

∵A′C=4，∠DA′C=∠BAC=30°，

∴CQ=A′C=2，

∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××4×2=8；

即△ABC的面积是8或8．

【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．