Question

△ABC中，AB=5，AC=4，BC=6．

（1）如图1，若AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，求CE的长与的比值；

（2）如图2，将边AC折叠，使得AC在AB边上，折痕为AM，再将边MB折叠，使得MB′与MC′重合，折痕为MN，求AN的长．

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先判定三角形ADE是等腰三角形，再根据平行线分线段成比例定理，求得CE的长；

（2）先根据两角对应相等，判定△ABC∽△NB′C′，再根据相似三角形的对应边成比例，求得NC′与B′N的数量关系，最后结合BC′的长为1，求得NC′的长，进而得到AN的长度．

试题解析：（1）如图1，∵AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，

∴∠EAD=∠BAD=∠EDA，

∴ED=EA，即三角形ADE是等腰三角形，

设CE=x，则AE=4﹣x=DE，

由DE∥AB，可得

，即，

解得x=，

∴CE=，

由DE∥AB，可得

，

∴；

（2）由折叠得，∠B=∠B′，∠C=∠MC′A=∠B′C′N，AC=AC′=4，

∴△ABC∽△NB′C′，

∴，

设NC′=4a，则BN=B′N=5a，

∵BC=AB﹣AC′=5﹣4=1，

∴NC′+BN=1，即4a+5a=1，

解得a=，

∴NC′=，

∴AN=+4=．

【点睛】本题以折叠问题为背景，主要考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，具有一定的难度．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，解题时应重点把握对应边相等，对应角相等．