Question

如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与轴相交于点,其中．与轴相交于点．抛物线的顶点为，它与直线l相交于点，其对称轴分别与直线l和轴相交于点和点．

（1）设, 时，

① 求出点、点的坐标．

② 抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（2）当以为顶点的三角形与相似且满足三角形的面积与三角形面积之比为1∶3时，求抛物线的函数表达式．

Answer

（1）①（2，﹣1）②（3，﹣ ）（2）y=x2﹣4x

【解析】试题分析：（1）①根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据配方法，可得顶点坐标；根据解方程组，可得C点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标；

②根据菱形的性质，可得G点坐标，根据平行四边形的判定，可得答案；

（2）根据待定系数法，可得b与a的关系，根据配方法，可得顶点坐标，根据平行线分线段成比例，可得OH的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据相似三角形的对应角相等，可得∠FCD=90°，根据相思三角形的性质，可得关于a的方程，根据抛物线的开口向上，可得a的值．

试题解析：（1）①如图1，

，

当a=时，将B点坐标代入，得y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2顶点坐标为（2，﹣2）；

当m=﹣2时，一次函数的解析式为y=x﹣2．

联立抛物线与直线，得

2﹣2x=x﹣2，

解得x=1，当x=1时，y=﹣，即C点坐标为（1，﹣）．

当x=2时，y=﹣1，即D点坐标为（2，﹣1）；

②假设存在G点，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形是平行四边形．

则CG与DF互相平分，而EF是抛物线的对称轴，且点G在抛物线上

∴CG⊥DF，

∴DCFG是菱形，

∴点C关于EF的对称点G（3，﹣ ）．

设DF与CG与DF相交于O′点，则DO′=O′F=，CO′=O′G=1，

∴四边形DCFG是平行四边形．

∴抛物线y=ax2+bx上存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形，点G的坐标为（3，﹣ ）；

（2）如图2，

，

∵抛物线y=ax2+bx的图象过（4，0）点，16a+4b=0，

∴b=﹣4a．

∴y=ax2+bx=ax2﹣4ax=a（x﹣2）2﹣4a的对称轴是x=2，

∴F点坐标为（2，﹣4a）．

∵三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3，

BC：AC=3：1．

过点C作CH⊥OB于H，过点F作FG∥OB，FG与HC交于G点．

则四边形FGHE是矩形．

由HC∥OA，得BC：AC=3：1．

由HB：OH=3：1，OB=4，OE=EB，得

HE=1，HB=3．

将C点横坐标代入y=ax2﹣4ax，得y=﹣3a．

∴C（1，﹣3a），∴HC=3a，又F（2，﹣4a）．

∴GH=4a，GC=a．

在△BED中，∠BED=90°，若△FCD与△BED相似，则△FCD是直角三角形

∵∠FDC=∠BDE＜90°，∠CFD＜90°，

∴∠FCD=90°．

∴△BHC∽△CGF，

∴，

∴，

∴a2=1，

∴a=±1．

∵a＞0，

∴a=1．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x．

【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用解方程组是求C点坐标的关键；利用菱形的对角线垂直且互相平分是求G点的关键；利用相似三角形的性质的出关于a的方程是解题关键，又利用了平行线分线段成比例．