Question

已知，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H 分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上，AH=2．

（1）如图1，当DG=2，且点F在边BC上时.

求证：① △AHE≌△DGH；

② 菱形EFGH是正方形；

（2）如图2，当点F在正方形ABCD的外部时，连接CF.

① 探究：点F到直线CD的距离是否发生变化？并说明理由；

② 设DG=x，△FCG的面积为S，是否存在x的值，使得S=1，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）①2②不存在

【解析】试题解析：（1）①由正方形的性质得∠A=∠D=90°，由菱形的性质得EH=HG，又AH=DG=2，故可证△AHE≌△DGH；②由①可得∠GHE=90°，故 菱形EFGH是正方形．

（2）①作FM⊥DC于M，连结GE. 通过证明△AHE≌△MFG得FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．

②在Rt△AHE中，AE=＞6，即点E已经不在边AB上．故不可能有S=1．

试题解析：（1）① 在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°，

在菱形EFGH中，EH=HG，

又∵ AH=DG=2，

∴ △AHE≌△DGH.

② 由（1）知△AHE≌△DGH，

∴ ∠AHE=∠DGH．

∵ ∠DGH+∠DHG=90°，

∴ ∠DHG+∠AHE=90°，

∴ ∠GHE=90°，

∴ 菱形EFGH是正方形．

（2）① 点F到直线CD的距离没有发生变化，理由如下：

作FM⊥DC于M，连结GE. 如图，

∵ AB∥CD, ∴∠AEG=∠MGE，

∵ HE∥GF, ∴∠HEG=∠FGE，

∴ ∠AEH=∠MGF．

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，

∴ △AHE≌△MFG.

∴ FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．

② 不存在.

∵ DG=x，∴ GC=6-x.

∴ S= S△FCG=×2×(6-x)=6-x．

若S=S△FCG=1，∴ 由S△FCG=6-x，得x=5.

此时，在Rt△DGH中，HG==．

相应地，在Rt△AHE中，AE=＞6，即点E已经不在边AB上．

故不可能有S=1．