Question

如图，已知顶点为A(2,-4)的抛物线经过坐标原点O，经过点A的直线y=kx+2交x轴于点B．

（1）求这条抛物线的函数关系式及点B的坐标；

（2）点P(x,y)是该抛物线的对称轴的左侧、x轴下方一段上的动点，连结 PO，以OQ为底边的等腰△PQO的另一顶点Q在x轴上，过点Q作x轴的垂线交直线AB于点R，连结PR．

设△PQR的面积为S．求S与x之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使得S_△PQR=2，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y=-3x+2，B(,0)（2）（3）(1,-3)

【解析】试题分析：（1）根据抛物线的顶点可设y=a(x-2)2 -4，把原点坐标代入解析式即可求出a的值，从而得解；

（2）当动点P(x,y)使△POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点 Q(2x,0).先确定x的取值范围，再进行分类讨论即可.

试题解析：（1）∵抛物线的顶点为A(2,-4),

∴可设该抛物线的函数关系式为y=a(x-2)2 -4．

∵ 这条抛物线过原点(0,0)，

∴ 0=a(0-2)2-4．解得a=1．

∴ 所求抛物线的函数关系式为y=(x-2)2-4 . 即y=x2+4x.

∵ 直线y=kx+2经过点A(2,-4)．

∴ 2x+2=-4，k=-3．

∴ 直线AB的函数关系式为 y=-3x+2．

当y=0时，得x=，即AB与x轴的交点B(,0).

（2）当动点P(x,y)使△POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点 Q(2x,0).

∵ 动点P在对称轴的左侧，x轴的下方，∴ 0＜x＜2．

∵ 当点Q与B(,0)重合时，△PQR不存在，∴ x≠，

∴ 动点P(x,y)应满足条件为0＜x＜2且x≠，

∵ QR与x轴垂直且与直线AB交于点R，∴ R点的坐标为(2x，-6x+2).

如图5，作PH⊥QR于H，则PH=|xQ-xP|=|2x-x|=x，QR=|-6x+2|.

而S△PQR的面积=QR·PH=|-6x+2|x.

分两种情形讨论：

(Ⅰ)当点Q在点B左侧时，即0＜x＜时，点R在 x轴上方，

∴ -6x+2＞0．∴ S= (-6x+2)x=-3x2+x；

(Ⅱ)当点Q在点B右侧时，即＜x＜2时，点R在x轴下方，

∴ -6x+2＜0．∴ S=[-(-6x+2)]x=3x2-x.

即S与x之间的函数关系式为：

（3）当S=2时，应有-3x2+x=2，即3x2-x+2=0，显然△＜0，此方程无解．

或有3x2-x=2，即3x2–x-2=0，解得x1=1，x2=-

当x=l时，y=x2-4x=-3，即抛物线上的点P(1,-3)可使S△PQR=2；

当x=-＜0时，不符合条件，应舍去．

综上所述，存在动点P，使得S△PQR=2，此时点P的坐标为(1,-3).