Question

如图，已知抛物线的顶点坐标为E（1,0），与轴的交点坐标为（0,1）.

（1）求该抛物线的函数关系式.

（2）A、B是轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥轴交抛物线于D，

过B作BC⊥轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（,0），四边形ABCD的面积为S.

① 求S与之间的函数关系式.

② 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？

③ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）①②四边形ABCD是正方形③2+

【解析】试题分析：（1）先设抛物线的顶点式，然后把点（0，1）代入抛物线，可以求出抛物线的解析式．（2）①因为点A的坐标为（t，0），AB=4，所以点B的坐标为（t+4，0），分别把A，B两点的坐标代入抛物线得到C，D两点的坐标，得到线段AD和BC的长，可以用含t的式子表示直角梯形ABCD的面积．②根据①得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质，可以求出面积最小时t的值，并确定此时四边形的形状．③当四边形ABCD的面积最小时，ABCD是正方形，点A点C关于BD对称，根据两点之间线段最短，得到CE与BD的交点就是点P，然后求出△PAE的周长．

试题解析： （1）∵ 抛物线顶点为F（1,0）

∴

∵ 该抛线经过点E（0,1）

∴

∴

∴ ，

即所求抛物线的函数关系式为.

（2）① ∵ A点的坐标为（,0）, AB=4，且点C、D在抛物线上，

∴ B、C、D点的坐标分别为(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2).

∴

② .

∴ 当=-1时，四边形ABCD的最小面积为16，

此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形.

③ 当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，其对角线BD上存在点P, 使得ΔPAE的周长最小.

∵AE=4（定值），

∴要使ΔPAE的周长最小，只需PA+PE最小.

∵此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称,

∴由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点.

∵点E、B、C、D的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4）

∴直线BD，EC的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2.

∴ P(,)

在Rt△CEB中，CE=,

∴△PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+

【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用顶点式求出抛物线的解析式．（2）①结合二次函数的图形，理解四边形ABCD是直角梯形，利用梯形的面积公式求出S关于t的函数．②利用①中求出的二次函数的性质，得到四边形面积最小时t的值，并确定ABCD的形状．③利用②的结论得到A，B，C，D的坐标，再根据两点之间线段最短，求出点P的坐标和△PAE的周长．