Question

如图， 为⊙的直径， 、分别是⊙的切线，切点为、， 、的延长线交于点， ,交的延长线于点.

（1）求证： ；

（2）若， ，求⊙的半径.

Answer

（1）证明见解析；

（2）⊙的半径.

【解析】（1）连接OC，易证∠DPO=∠BPO，∠BPO=∠EDB，故∠DPO=∠EDB
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8-r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，

试题解析：（1）连接OC，易证∠DPO=∠BPO，∠BPO=∠EDB

∴∠DPO=∠EDB

（2）在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，
根据勾股定理得：PD=，
∵PD与PB都为圆的切线，
∴PC=PB=3，
∴DC=PD-PC=5-3=2，
在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4-r，
根据勾股定理得：（4-r）2=r2+22，
解得：r=．