Question

如图1，四边形是正方形，动点从点出发，以cm/s的速度沿边、、匀速运动到终止；动点从出发，以cm/s的速度沿边匀速运动到终止，若、两点同时出发，运动时间为s，△的面积为cm². 与之间函数关系的图像如图所示.

（1）求图中线段所表示的函数关系式；

（2）当动点在边运动的过程中，若以、、为顶点的三角形是等腰三角形，求的值；

（3）是否存在这样的，使将正方形的面积恰好分成的两部分？若存在，求出这样的的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）段的函数表达式为；

（2）当或时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形；

（3）存在和，使将正方形的面积恰好分成的两部分．

【解析】试题分析：（1）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD上继续运动的情形．如图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；（2）分类讨论，列方程求解即可；

（3）当点P在AB上运动时，PQ将正方形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如图3所示，求出t的值；当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如图4所示，求出t的值．

试题解析：（1）由题意，可知题图2中点表示点运动至点时的情形，所用时间为s，则正方形的边长cm．点运动至点所需时间为： s，点运动至终点所需时间为s．

因此在段内，点运动至点停止运动，点在线段上继续运动，且时间的取值范围为．

故，

∴段的函数表达式为．

（2）①若，则，显然不成立

②若，则，解得， （舍去）

③若，则，解得， （舍去）

综上所述，当或时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形

（3）假设存在这样的，使将正方形的面积恰好分成的两部分.易得正方形的面积为．

①当点在上运动时， 将正方形分成△和五边形两部分，如图所示，根据题意，得，解得；

图3 图4

②当点在上运动时， 将正方形分为梯形和梯形两部分，如图所示．根据题意，得，解得．

∴存在和，使将正方形的面积恰好分成的两部分．

【点睛】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．