Question

如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB丄x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．

（1）求一次函数、反比例函数的解析式；

（2）求证：点C为线段AP的中点；

（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形，如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）y＝x＋1. （2）点C为线段AP的中点. （3）存在点D，使四边形BCPD为菱形，点D（8，1）即为所求.

【解析】试题分析：（1）由点A与点B关于y轴对称，可得AO＝BO，再由A的坐标求得B点的坐标，从而求得点P的坐标，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式，将A与P坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式；(2)由AO＝BO，PB∥CO，即可证得结论 ；（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝ 的图象于点D，分别连结PD、BD，如图所示，即可得点D（8，1）， BP⊥CD，易证PB与CD互相垂直平分，即可得四边形BCPD为菱形，从而得点D的坐标．

试题解析：

（1）∵点A与点B关于y轴对称，

∴AO＝BO，

∵A(－4，0)，

∴B(4，0)，

∴P(4，2),

把P(4，2)代入y＝得m＝8，

∴反比例函数的解析式：y＝

把A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b

得： ，解得： ，

所以一次函数的解析式：y＝x＋1.

（2）∵点A与点B关于y轴对称，

∴OA=OB

∵PB丄x轴于点B，

∴∠PBA=90°，

∵∠COA=90°，

∴PB∥CO，

∴点C为线段AP的中点.

（3）存在点D，使四边形BCPD为菱形

∵点C为线段AP的中点，

∴BC= ，

∴BC和PC是菱形的两条边

由y＝x＋1，可得点C(0，1)，

过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝的图象于点D，

分别连结PD、BD，

∴点D（8，1）， BP⊥CD

∴PE＝BE＝1，

∴CE＝DE＝4，

∴PB与CD互相垂直平分，

∴四边形BCPD为菱形.

∴点D（8，1）即为所求.