Question

如图，抛物线与y轴交于点A(0，－ )，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，直线l∥AB且过点D.

（1）求AB所在直线的函数表达式；

（2）请你判断△ABD的形状并证明你的结论；

（3）点E在线段AD上运动且与点A、D不重合，点F在直线l上运动，且∠BEF=60°，连接BF，求出△BEF面积的最小值.

Answer

（1）（2）△ABD是等边三角形，（3）

【解析】试题分析：（1）先求得抛物线的解析式，再求得点B、C的坐标，再由待定系数法求出直线AB的解析式；（2）△ABD是等边三角形，根据已知条件易证△BOA≌△DOA，可得BA=DA，根据锐角三角函数可求得∠ABO=60°，即可判定△ABD是等边三角形；（3）过点E作EG∥x轴，交AB于点G， 易证△AEG是等边三角形，可得AE=AG，再证△BEG≌△EFD，可得BE=EF，易得△BEF是等边三角形 ，当BE⊥AD时，BE的长度最小，则△BEF的面积取最小值，求得△BEF面积的最小值即可.

试题解析：

（1）将点A（0，－ ）代入抛物线解析式中，得c=－，

当y=0时，

化简得x2－2x－3=0

（x+1）(x－3)=0

x 1=－1, x 2=3

点B （－1，0），点C（3，0）

设直线AB的表达式为y=kx+b，

图象经过点A（0，－ ），点B （－1，0），

代入得 ，解得

直线AB的表达式为

（2）△ABD是等边三角形，

点B(－1，0), 点D（1，0）

OB=OD=1，

∵OA是公共边，∠BOA=∠DOA=90°，

∴△BOA≌△DOA，

∴BA=DA，

tan∠ABO=，

∴∠ABO=60°，

△ABD是等边三角形

（3）过点E作EG∥x轴，交AB于点G，

∵△ABD是等边三角形

∴∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°

∴∠AEG=∠AGE=60°

∴△AEG是等边三角形，

∴AE=AG

∴DE=BG

∵AB∥l

∴∠EDF=∠BGE=120°

∴∠GBE+∠GEB=60°，∠DEF+∠GEB=60°，

∴∠GBE=∠DEF

∴△BEG≌△EFD

∴BE=EF

又∵∠BEF=60°

∴△BEF是等边三角形

∴S△BEF=

当BE⊥AD时，BE的长度最小，则△BEF的面积取最小值，

此时，BE=ABsin60°=，

△BEF面积的最小值==

点睛：本题考查了二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，题目难度较大，学生解决有一定的困难，要注意数形结合思想和数学建模思想点的运用．